Geometrische Reihe

Eine geometrische Reihe ist die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ einer geometrischen Folge ${\displaystyle a_{n}}$, sodass also zwei aufeinanderfolgende Reihenglieder stets dasselbe Verhältnis haben. Die Bezeichnung weist darauf hin, dass jeder Summand das geometrische Mittel aus Vorgänger und Nachfolger ist. Ein Beispiel einer geometrischen Reihe ist ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+\cdots }$ mit Reihenwert ${\displaystyle 2}$. Ganz allgemein besitzt sie die Gestalt ${\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots }$ mit einem Vorfaktor ${\displaystyle a}$ und dem gemeinsamen Verhältnis ${\displaystyle q\not =0}$. In der Literatur wird jedoch häufig schlicht ${\displaystyle a=1}$ gesetzt.

Bei geometrischen Reihen handelt es sich um Reihen „besonders einfacher Bauart“. In der Mathematik, besonders der Analysis, hat dies große Vorteile. Soll etwa eine bestimmte unendliche Reihe analysiert werden, die komplizierte Eigenschaften hat, so kann diese manchmal durch eine geometrische Reihe „imitiert“ werden, und diese Vereinfachung ermöglicht es schließlich doch, Aussagen zu treffen. Diese „Imitation“ ist zum Beispiel bezüglich allgemeiner Potenzreihen hinsichtlich Fragen der Konvergenz „fast perfekt“, was schließlich zum Begriff des Konvergenzradius führt, einer sehr aussagekräftigen Kenngröße dieser Reihen und damit der Funktionentheorie im Allgemeinen.

Allgemeine unendliche Reihen haben in verschiedensten Disziplinen Anwendungen, etwa in den Ingenieurswissenschaften oder der analytischen Zahlentheorie. Historisch entstanden ist die geometrische Reihe jedoch aus dem Bestreben heraus, die Flächen oder Volumina von Figuren (wie einer Parabel oder einem Tetraeder) durch „Ausschöpfen“ zu ermitteln. Die Idee hierbei ist, die Figur in sehr viele kleine Teile zu zerlegen, deren Flächeninhalte oder Volumina aber einfach ermittelt werden können, wie dies etwa bei Rechtecken oder Quadern der Fall ist. Das Volumen der komplizierten Figur ist dann im Grenzwert die gegebenenfalls unendliche Summe der immer kleiner werdenden, aber einfachen Volumina der Teilfiguren. In dieser Hinsicht kann die geometrische Reihe auch als Urahn der modernen Integralrechnung gesehen werden: Schon Pierre de Fermat konnte mit ihr erfolgreich die Kurve der Potenzfunktion ${\displaystyle f(x)=x^{a}}$ für Hochzahlen ${\displaystyle a>-1}$ integrieren.

Aufgrund der einfachen Gestalt der Summanden ist es möglich, die Partialsummen ${\displaystyle \textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}q^{k}}$ der zugehörigen geometrischen Reihe in geschlossener Form zu berechnen. Eine wichtige Tatsache ist ferner, dass die geometrische Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}}$ genau dann konvergiert, falls ${\displaystyle |q|<1}$ gilt. Ihr Grenzwert ist in diesem Falle

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}}$.

Dabei ist es unerheblich, ob es sich bei ${\displaystyle q}$ um eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl handelt.

Die geometrische Reihe zählt zu den wichtigsten Reihen überhaupt. Anwendungen hat sie als Majorante (etwa beim Beweis von Konvergenzkriterien wie dem Quotientenkriterium) und im Bereich der Potenzreihenentwicklungen rationaler Funktionen. Weitere Anwendungsbereiche sind die Rentenrechnung, Geometrie, Fourier-Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie (etwa hinsichtlich der geometrischen Verteilung) und Zahlentheorie. So spielt sie etwa bei der Herleitung des Euler-Produktes der Riemannschen Zeta-Funktion eine zentrale Rolle, woraus in letzter Konsequenz schließlich die Formulierung der Riemannschen Vermutung hervorgeht, eines der sieben Millennium-Probleme der Mathematik.